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% The Hotspin 2 Instrument
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% This is part of the diploma thesis "The Hotspin 2 Instrument".
% (c) Michael Wack 2005,2006
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\chapter{Mathematische Grundlagen}
\label{sec:mathematical_background}

\section{Verwendete Symbole}
\begin{table}[htbp]
		\begin{tabular}{ll}
			$x$, $y$, $z$ & Koordinatensystem des Geräts\\
			$\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ & Koordinatensystem der Probe\\
			$D$ & Deklination der Probenmagnetisierung\\
			$I$ & Inklination der Probenmagnetisierung\\ 
			$\phi$ & Drehwinkel der Probenplattform\\
			$\vec M$ & Magnetisierung [A$/$m]\\
			$M$ & Betrag der Magnetisierung [A$/$m]\\
			$\vec m$ & magnetisches Dipolmoment [$\textrm{Am}^2$]\\
			$\vec B$ & magnetisches Außenfeld der Probe [T]\\
			$\mu_0$ & magnetische Feldkonstante $4 \pi \cdot 10^{-7}$~[Vs/Am]
		\end{tabular}
	\caption{Verwendete Symbole.}
	\label{tab:verwendeteSymbole}
\end{table}

Alle Rechnungen sind im SI-System durchgeführt (Tabelle \ref{tab:verwendeteSymbole}).

\section{Magnetisches Außenfeld einer Probe}
Zur Berechnung und Auswertung der Daten wird angenommen, dass das Streufeld der zu messenden Proben einem reinen Dipolfeld entspricht und keine Terme höherer Ordnung enthält. Dies ist bei kugelförmigen, homogen magnetisierten Proben gegeben und auch bei den hier verwendeten Standard-Inch-Proben in erster Näherung erfüllt \citep{collinson:methods}. Eine Verschiebung der Lage des Dipols lässt sich durch eine entsprechende Veränderung der Sensorkoordinaten bei der Auswertung der Messwerte kompensieren. Geschieht dies nicht, treten wie bei der Abweichung von der oben beschriebenen idealen Probenform höhere Feldanteile auf. Diese machen sich als Abweichung der Messsignale und somit als ein Anstieg der Fehlerquadratsumme bei der Analyse der Messdaten (Kapitel \ref{cha:analyse_der_messdaten}) bemerkbar.

\subsection{Koordinatensysteme}

Das Koordinatensystem einer Probe ($\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$) wird wie in Abbildung \ref{fig:specimen_coordinates} dargestellt definiert. Dabei zeigt der auf der Mantelfläche gemalte Pfeil in Richtung der $\hat{z}$-Achse und legt die Orientierung der $\hat{x}$- und $\hat{y}$-Achse fest \citep{soffel:palaeomagnetismus}.

\begin{figure}[htb]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=5cm]{images/specimen_coordinates}
    \end{center}
    \caption{Definition der Kernkoordinaten einer Probe.}
    \label{fig:specimen_coordinates}
\end{figure}

\clearpage

Als Basis für die Berechnungen wurde ein weiteres Koordinatensystem (Gerätekoordinatensystem ($x$, $y$, $z$)) so gewählt, dass dessen Achsen und die Achsen der Kernkoordinaten um den Rotationswinkel der Probenplattform $\phi$ verdreht sind (siehe Abbildung \ref{fig:coordinate_system}). 

Dies bedeutet insbesondere

\begin{equation}
\left.
\begin{array}{ccc}
\hat{x} \parallel x\\
\hat{y} \parallel y\\
\hat{z} \parallel z\\
\end{array}\right\}
~\mbox{für}~ \phi = 0
\end{equation}



\begin{figure}[htb]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{images/coordinate_system}
    \end{center}
    \caption{Definition des gewählten Gerätekoordinatensystems.}{Ansicht von oben in Richtung der positiven z-Achse.}
    \label{fig:coordinate_system}
\end{figure}

\clearpage

Der Koordinatenursprung liegt im Schnittpunkt der Probenebene mit der Rotationsachse. Die z-Achse des gewählten rechtshändigen Koordinatensystem \index{Koordinatensystem} zeigt senkrecht nach unten und entspricht damit der üblichen Konvention in der Geophysik.\\ 
Der Vektor $\vec r$ zeigt vom Sensor zur Probe und ist somit als Differenz der Probenposition $\vec p(\phi)$ und der Sensorposition $\vec s$ definiert. Er ist die entscheindende Größe zur Berechnung des Streufeldes der Probe an der jeweiligen Sensorposition.

\begin{equation}
\vec p(\phi) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
    R \cdot \cos \phi \\
    R \cdot \sin \phi \\
    0 
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\vec s = 
\left(
\begin{array}{ccc}
    s_x\\
    s_y\\
    s_z
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\vec r = \vec p - \vec s =
\left(
\begin{array}{ccc}
    r_x\\
    r_y\\
    r_z
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
    R \cdot \cos \phi - s_x\\
    R \cdot \sin \phi - s_y\\
    -s_z
\end{array}
\right)
\end{equation}



\subsection{Probenmagnetisierung}
Die Magnetisierung \index{Magnetisierung} $\vec M$ einer Gesteinsprobe ist als Quotient des magnetischen Dipolmoments \index{Dipolmoment} $\vec m$ und dem Volumen $V$ der Probe definiert.


\begin{equation}
\vec M = \frac{\vec m}{V}
\label{equ:M}
\end{equation}

Die Darstellung der Meßwerte als Magnetisierung liefert ein vom Probenvolumen unabhängiges Ergebnis.

\subsection{Magnetisches Dipolfeld}

Das Fernfeld einer Probe ist durch ihr magnetisches Moment festgelegt (abgesehen von Abweichungen im Nahfeld, die durch die räumliche Verteilung der Magnetisierung zustande kommen).\\
Das Streufeld eines magnetischen Dipols mit dem Dipolmoment $\vec m$ ist gegeben durch \citep{fliessbach:elektrodynamik}:

\begin{equation}
\vec B( \vec r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{3 \vec r \left ( \vec r \cdot \vec m \right ) - \vec m r^2}{r^5}
\label{equ:dipol}
\end{equation}

mit

\begin{equation}
r = \left| \vec r \right| = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2},\qquad \vec
m = \left(
\begin{array}{ccc}
    m_x\\
    m_y\\
    m_z
\end{array}
\right)
\end{equation}

Daher lässt sich das magnetische Streufeld $\vec B$ in Abhängigkeit vom Rotationswinkel $\phi$ in $\vec m$ ausdrücken:
\begin{equation}
  \vec{B} \left( \vec{s}, \phi \right) = \check{I} \left( \vec{s}, \phi
  \right) \cdot \vec{m}
  \label{equ:B}
\end{equation}

Hierbei ist $\check{I}$ folgende $3 \times 3$ Matrix:

\begin{equation}
  \check{I}(\vec s, \phi) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{1}{r^5} \left(\begin{array}{ccc}
    2 r_x^2 - r_y^2 - r_z^2 & 3 r_x r_y & 3 r_x r_z\\
    3 r_y r_x & 2 r_y^2 - r_x^2 - r_z^2 & 3 r_y r_z\\
    3 r_z r_x & 3 r_z r_y & 2 r_z^2 - r_x^2 - r_y^2
  \end{array}\right)
  \cdot
  \left(\begin{array}{ccc}
    \cos \phi & \sin \phi & 0\\
    \sin \phi & \cos \phi & 0\\
    0 & 0 & 1
  \end{array}\right)
  \label{equ:I}
\end{equation}


Bei der letzten Matrix in Gleichung \ref{equ:I} handelt es sich um eine Drehmatrix, die die Rotation der Probe um ihre eigene Achse beschreibt. Diese Rotation kommt durch die starre Befestigung der Proben auf der Probenplattform zustande. Würde man hier eine Mechanik wie bei der Befestigung des Temperatursensors (siehe \ref{sec:messanordnung_temperatursensor}) vorsehen und damit die gebundene Rotation der Proben verhindern, würde diese Matrix zur Einheitsmatrix. 
Der Vektor $\vec B$ beschreibt das erwartete magnetische Feld in den drei Raumrichtungen, wie es an der Position $\vec s$~~von einer um den Winkel $\phi$ aus der Nulllage herausgedrehten Probe erzeugt wird. Dies ist die Grundlage der Berechnung von Signalverläufe für gegebene Sensorpositionen. Gleichung \ref{equ:I} wird in Kapitel \ref{cha:optimierung_der_sensorgeometrie} auch zur Optimierung der Sensorpositionen eingesetzt. Umgekehrt wird es durch lineare Regressionsrechnung möglich, aus den gemessenen Signalen das magnetische Dipolmoment der Proben zu bestimmen (siehe Kapitel \ref{cha:analyse_der_messdaten}).


\section{Sensorgleichungen}

Nach den Gleichungen \ref{equ:B} und \ref{equ:I} ergibt sich für einen Sensor, der an der Position $\vec s$ das magnetische Feld in x-Richtung misst, folgender Signalverlauf in Abhängigkeit des Drehwinkels der Probe~$\phi$:
\begin{equation}
\begin{split}
B_x(\vec s, \phi) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{1}{r^5}& \left[ \left(\cos \phi \left(-r_z^2-r_y^2+2 r_x^2\right)+3 \sin \phi ~ r_x r_y \right) m_x \right.\\
 &+ \left(\sin \phi \left(-r_z^2-r_y^2+2 r_x^2 \right)+3 \cos \phi ~ r_x r_y \right) m_y\\
 & \left. + 3 r_x r_z m_z \right]
\end{split} 
\label{equ:sensorX}
\end{equation}

Für einen Sensor, der in y-Richtung misst, ergibt sich:
\begin{equation}
\begin{split}
B_y(\vec s, \phi) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{1}{r^5}& \left[ \left(\sin \phi \left(-r_z^2+2 r_y^2-r_x^2 \right)+3 \cos \phi ~ r_x r_y\right)  m_x\right.\\
 &+ \left(\cos \phi \left(-r_z^2+2 r_y^2-r_x^2\right)+3 \sin \phi ~ r_x r_y \right) m_y\\
 & \left. +3 r_x r_z m_z\right]
\end{split} 
\label{equ:sensorY}
\end{equation}


Für einen Sensor, der in z-Richtung misst, ergibt sich:
\begin{equation}
\begin{split}
B_z(\vec s, \phi) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{1}{r^5}& \left[ \left(3 \sin \phi ~ r_y r_z+3 \cos \phi ~ r_x r_z \right)  m_x\right.\\
 &+ \left( 3 \cos \phi ~ r_y r_z+3 \sin \phi ~ r_x r_z \right ) m_y\\
 & \left. + \left( 2 r_z^2-r_y^2-r_x^2 \right) m_z \right] 
\end{split} 
\label{equ:sensorZ}
\end{equation}

\section{Eigenschaften der Messsignale}
\label{sec:eigenschaften_signale}
Wie aus Gleichung \ref{equ:B} (sowie \ref{equ:sensorX} - \ref{equ:sensorZ}) ersichtlich ist, entspricht das zu messende Proben-Streufeld parallel zu den Achsen des Koordinatensystems einer Linearkombination der Komponenten des magnetischen Moments der Probe $\vec m$.

\begin{equation}
		B_i = \check{I}_{i1} \cdot m_x + \check{I}_{i2} \cdot m_y + \check{I}_{i3} \cdot m_z
		\label{equ:Bi}
\end{equation}

Es wurden drei Positionen in einem Sektor der x-z-Ebene in einem in der Praxis sinnvollen Abstand von der Probenmitte ausgewählt (vgl. roter Rahmen in Zeichnung \ref{fig:sensor_distance}).
\begin{figure}[htb]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{images/sensor_distance}
    \end{center}
    \caption{Mindestabstand der Sensoren von der Probe.}{Dieser wird mechanisch durch den Querschnitt des Heizrings sowie dessen Isolierung bestimmt.}
    \label{fig:sensor_distance}
\end{figure}
Es wurde nur ein Sektor berücksichtigt, da relativ zur Probe (für $\phi=0$) symmetrisch liegende Sensoren qualitativ sehr ähnliche Signale liefern. In Bezug auf die x-y sowie die x-z-Ebene ist der Aufbau exakt symmetrisch (siehe auch Abschnitt \ref{sec:anforderungen}). Für die y-z-Ebene gilt dies nicht, da sich die Probe nicht parallel der y-Achse, sondern auf einer Kreisbahn bewegt. In dem für die Messungen interessanten Winkelbereich sind die Abweichungen der Kreisbahn jedoch so gering, dass sich die Signalverläufe nur wenig unterscheiden, und somit nicht explizit dargestellt werden. Je nach Sektor ergeben sich ggf. Änderungen im Vorzeichen der einzelnen Signalkomponenten.\\
In Abbildung \ref{fig:I_plots} sind die Anteile der drei Komponenten des magnetischen Moments über dem Drehwinkel der Probenplattform an mehreren exemplarisch ausgewählten Sensorpositionen dargestellt. Da sich die Probe für $\phi = 0$ nahezu parallel zur y-Achse bewegt, wurde die y-Komponente der Sensorposition immer gleich Null gewählt. Eine Variation dieser Komponente würde im Nahbereich nur eine zeitliche Verschiebung des Signals, jedoch keine Veränderung des Verlaufs bzw. des Informationsgehalts bewirken.

Die Signale werden über einen Winkelbereich von $\pm 100$~Drehgeberschritten gezeigt, dies entspricht einem Winkel von $\pm 72$°. Sie wurden mit der dafür geschriebenen Matlab-Routine \textit{hotspin\_plot\_I} (siehe Quelltext \ref{lst:hotspinplotI} in Anhang \ref{cha:lstmatlab}) erzeugt. Man erkennt beispielsweise, dass das Signal eines in z-Richtung orientierten Sensors an der Position $\vec s_2$ ausschließlich von der z-Komponente der Magnetisierung der gemessenen Probe bestimmt wird.

Betrachtet man eine Inch-Probe mit einer Magnetisierung von 1~A/m an den Sensorpositionen $\vec s_{1\ldots3}$, so verursacht diese Amplituden von wenigen Nanotesla. Nach Gleichung \ref{equ:M} besitzt eine solche Probe ein magnetisches Moment von ca. $1 \cdot 10^{-5} ~\textrm{Am}^2$. Multipliziert man dieses entsprechend Gleichung \ref{equ:Bi} mit den Amplituden in Abbildung \ref{fig:I_plots} von ca. $10^{-4}~\textrm{Vs/Am}^4$, so erhält man die oben genannte Größenordnung von $10^{-5}~\textrm{Am}^2 \cdot 10^{-4}~\textrm{Vs/Am}^4 = 10^{-9}~\textrm{T} = 1~\textrm{nT}$.

\begin{figure}[htb]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{images/I_plots}
    \end{center}
    \caption{Komponenten der Sensorsignale.}{Dargestellt sind Signale an drei verschiedenen Positionen für Sensoren, die in x-, y- und z-Richtung orientiert sind. Das Messsignal ergibt sich als eine Linearkombination der jeweils drei gezeigten Kurven, gewichtet mit den Komponenten des magnetischen Dipolmoments der Probe (Gleichung \ref{equ:Bi}). Die Sensorkoordinaten $\vec s_{1\ldots3}$ sind in Metern angegeben.}
    \label{fig:I_plots}
\end{figure}

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