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% The Hotspin 2 Instrument
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% This is part of the diploma thesis "The Hotspin 2 Instrument".
% (c) Michael Wack 2005,2006
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\chapter{Analyse der Messdaten}
\label{cha:analyse_der_messdaten}

Um die Magnetisierung der Probe zu bestimmen, braucht man ein Verfahren, um dasjenige magnetische Moment zu finden, das die gemessenen Signalverläufe mit den geringsten Fehlern erklärt. Zu diesem Zweck wurde ein Ansatz der linearen Regressionsrechnung bzw. Ausgleichsrechnung verwendet \citep{LaPu98:mathmeth, bronstein}.

\section{Regressionsrechnung}
\index{Regressionsrechnung}

Ausgangspunkt ist Gleichung \ref{equ:SmW}, die den linearen Zusammenhang zwischen den gemessenen Signalverläufen $\vec{W} (\Phi)$ und den gesuchten Komponenten des magnetischen Moments $\vec m$ beschreibt.


\begin{equation}
S_{ij} \left( \phi \right) \vec{m} = \vec{W} \left( \phi \right)
\label{equ:SmW}
\end{equation}

Die Matrix $S_{ij}$ setzt sich aus Differenzen von Elementen der Matrix $\check{I}(\vec s, \phi)$ aus Gleichung \ref{equ:I} zusammen und beinhaltet damit die Information über die Positionen sowie Ausrichtungen der Sensoren und legt fest, welche dieser Sensorsignale bei der Gradientenmessung voneinander subtrahiert werden.\\

Aufgrund der Ausrichtung der Sensoren hat die Matrix $S_{ij}(\phi)$ den in Gleichung \ref{equ:Sij} dargestellten Aufbau. Die gleichen Indizes in Zeile 2 und 3 sind durch die gleiche Ausrichtung der Y- und Z-Sensoren in y-Richtung bedingt. Die Bezeichnungen der Sensorpositionen $\vec{s}$ entsprechen denen aus Tabelle \ref{tab:endgueltigesensoranordnung}. Dabei gilt $\check{I_{ij}}^\textrm{X1} = \check{I_{ij}}(\textrm{X1}, \phi)$:

\begin{equation}
  S_{ij}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}
     \check{I}_{11}^\textrm{X1} - \check{I}_{11}^\textrm{X2}& \check{I}_{12}^\textrm{X1} - \check{I}_{12}^\textrm{X2} & \check{I}_{13}^\textrm{X1} - \check{I}_{13}^\textrm{X2}\\
     \check{I}_{21}^\textrm{Y1} - \check{I}_{21}^\textrm{Y2}& \check{I}_{22}^\textrm{Y1} - \check{I}_{22}^\textrm{Y2} & \check{I}_{23}^\textrm{Y1} - \check{I}_{23}^\textrm{Y2}\\
     \check{I}_{21}^\textrm{Z1} - \check{I}_{21}^\textrm{Z2}& \check{I}_{22}^\textrm{Z1} - \check{I}_{22}^\textrm{Z2} & \check{I}_{23}^\textrm{Z1} - \check{I}_{23}^\textrm{Z2}
  \end{array}\right)
  \label{equ:Sij}
\end{equation} 


Um nun den Wert von $\vec m$ zu finden, der die Messkurven am besten erklärt, wählt man folgenden Ansatz zur Minimierung des Integrals über die Fehlerquadrate.

\begin{eqnarray}
%  \int^{\phi'}_{- \phi'} \left( S_{ij} \left( \phi \right) \vec{m} -
%  \vec{W} \left( \phi \right) \right)^2 d \phi \stackrel{!}{=} \min &  & \\
%  \int^{\phi'}_{- \phi'} \left( \sum^3_{j = 1} S_{ij} \left( \phi
%  \right) m_j - \vec{W} \left( \phi \right) \right)^2 d \phi \stackrel{!}{=} \min &  &
%  \\
  \int^{\phi'}_{- \phi'} \sum^3_{i = 1} \left( \sum^3_{j = 1} S_{ij}
  \left( \phi \right) m_j - W_i \left( \phi \right) \right)^2 d \phi \stackrel{!}{=}
  \min &  & \\
  \int^{\phi'}_{- \phi'} \sum^3_{i = 1} \left( \left( \sum^3_{j = 1}
  S_{ij} \left( \phi \right) m_j \right)^2 - 2 \left( \sum^3_{j = 1}
  S_{ij} \left( \phi \right) m_j \right) W_i \left( \phi \right) + W_i
  \left( \phi \right)^2 \right) d \phi \stackrel{!}{=} \min &  & 
\end{eqnarray}

Durch Nullsetzen der Ableitungen nach allen Komponenten des gesuchten Vektors $\vec m$ erhält man ein Gleichungssystem zum Bestimmen des Minimums des Fehlers und den zugehörigen gesuchten Wert von $\vec m$.
 
\begin{eqnarray}
  \frac{\partial}{\partial m_k} \! \left( \int^{\phi'}_{- \phi'} \sum^3_{i = 1}
  \left( \!\! \left( \sum^3_{j = 1} S_{ij} \left( \phi \right) m_j \right)^2
  \!\!\!\! - 2 \left( \sum^3_{j = 1} S_{ij} \left( \phi \right) m_j \! \right) \! W_i
  \left( \phi \right) + W_i \left( \phi \right)^2 \right) \! d \phi \! \right)
  \stackrel{!}{=} 0 &  & \\
  \int^{\phi'}_{- \phi'} 2 \sum^3_{i = 1} \sum^3_{j = 1} S_{ij} \left(
  \phi \right) S_{ik} \left( \phi \right) m_j - 2 \sum^3_{i = 1}
  S_{ik} \left( \phi \right) W_i \left( \phi \right) d \phi \stackrel{!}{=} 0 & 
  & 
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
	 \int^{\phi'}_{- \phi'} S_{ij} S_{ik} d \phi ~ m_j = \int^{\phi'}_{- \phi'} S_{ik} W_i ~ d \phi & & \\
	 T_{jk} = \int^{\phi'}_{- \phi'} S_{ij} S_{ik} ~ d \phi & & \\
	 \vec m = T_{jk}^{-1} \int^{\phi'}_{- \phi'} S_{ik} W_i ~ d \phi & &
\end{eqnarray}

Es wurde versucht, durch Integration der Ausdrücke mit dem Programmpaket Mathematica einen analytischen Ausdruck für die Matrix $T_{jk}$ zu finden. Damit sollte der Rechenaufwand bei der routinemäßigen Auswertung der Signale reduziert werden. Dieses Vorgehen führte zu keinem Ergebnis, so dass die oben vorgestellte Rechnung numerisch in der Auswertesoftware (siehe Abschnitt \ref{sec:software_datenanalyse}) implementiert wurde.


\section{Erweiterung der Regression zur Kompensation linearer Störungen}
\label{sec:linstoer}
Bei der Analyse der Messdaten zeigte sich, dass das Probensignal von Störsignalen überlagert wird, die für die Dauer einer Messung (ca. 2 Sekunden) als linear angesehen werden können. Als Ursache für die Störsignale sind externe Feldschwankungen (siehe Abschnitt \ref{sec:testmessung_hintergrundfeld}) und der mitrotierende Temperatursensor (siehe Abschnitt \ref{sec:einflusstempsensor}) anzusehen.

Um diese Effekte zu kompensieren, wurde der oben beschriebene Ansatz der Regressionsrechnung um sechs zusätzliche Koeffizienten erweitert, für die die Summe der Fehlerquadrate minimiert werden soll. Für jede der drei Messkurven werden somit zusätzlich zwei Koeffizienten $a_i$ und $b_i$ einer überlagernden linearen Funktion bestimmt. Gleichung \ref{equ:SmW} wird zu:

\begin{equation}
S_{ij} \left( \phi \right) \vec{m} + \vec a \phi + \vec b= \vec{W} \left( \phi \right)
\label{equ:SmW2}
\end{equation} 

Die $3 \times 3$ Matrix $S_{ij}$ wird zu einer $3 \times 9$ Matrix mit folgendem Aufbau:

\begin{equation}
  S'_{ij}(\phi) = \left(
  \begin{array}{ccccccccc}
		 \cdots&\cdots&\cdots&\phi&0&0&1&0&0\\ 
		 \cdots&S_{ij}&\cdots&0&\phi&0&0&1&0\\
		 \cdots&\cdots&\cdots&0&0&\phi&0&0&1
	\end{array}\right)
\end{equation} 

Der Ergebnisvektor $\vec m$ wird damit zu:

\begin{equation}
  \vec m' = \left(
  \begin{array}{c}
		 m_x\\
		 m_y\\
		 m_z\\
		 a_x\\
		 a_y\\
		 a_z\\
		 b_x\\
		 b_y\\
		 b_z
	\end{array}\right)
\end{equation} 

Durch dieses Vorgehen konnte die Qualität der Fits wesentlich gesteigert werden.

\section{Fehler}
\label{sec:fehler}
Als Abschätzung für den Fehler $\epsilon$ der Fits wurde die zu minimierende Summe über die Fehlerquadrate benutzt. 

\begin{equation}
	\epsilon_i = \sum_{-\phi'}^{\phi'} \left( S_{ij} \left( \phi \right) \vec m - W_i \left( \phi \right) \right)^2 ~~~~~i = x,y,z
\label{equ:fehler}
\end{equation}

\begin{equation}
	\epsilon = \sqrt{\epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2}
\label{equ:fehler2}
\end{equation}

Zu beachten ist, dass die Größe des Fehlers $\epsilon$ nicht nur von der Qualität der Fits, sondern auch von dem betrachteten Winkelbereich sowie der Magnetisierungintensität abhängt. Geht man davon aus, dass sich die Magnetisierung in allen Raumrichtungen gleichmäßig verändert, so verändern sich die Fehlerwerte proportional zur Magnetisierungsintensität.




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% EOF
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